3.2.3. Fenwick Tree¶
Code: fenwick_tree.py
Test: test_fenwick_tree.py
Fenwick Tree とは¶
Fenwick Tree または Binary Indexed Tree (BIT) は、累積和に更新操作を加えたデータ構造。
セグメント木の機能を削り、実装を単純化したものともみなせる。
\(n\) 個の要素について、次の操作を行うことができる。
初期化: \(\mathcal{O}(n)\)
要素1つに対する加算: \(\mathcal{O}(\log{n})\)
部分和を求める問い合わせ: \(\mathcal{O}(\log{n})\)
部分和では区間 \([0, r)\) の和が求まる。
任意の区間 \([l, r)\) の和を求めるには、累積和と同様に \([0, r)\) の部分和から \([0, l)\) の部分和を引けばよい。
原理¶
BITの加算操作・更新操作ではセグメント木と同様に、ノード間の移動が発生する。
セグメント木ではこれをビットシフトや再帰で計算していたが、BITではノードの添え字を2進数で表したときの“1”であるビットの位置を利用して計算する。
ノード間の移動では特に、「最下位が“1”であるビットの位置」を順次取得することになる。
これは符号付き2進数を用いて \(a \land -a\) で求めることができる。
\[\begin{split}\begin{eqnarray}
6 \land -6 &=& 0110_{(2)} \land 1010_{(2)} \\
&=& 0010_{(2)} \\
\end{eqnarray}\end{split}\]
\(a \land -a\) の計算結果はビットが1か所だけ立つ。この場所が「最下位が“1”であるビットの位置」となる。
実装 (Numpy + Numba)¶
配列を1つ多く確保し、参照を 1-indexed とすると実装しやすい。
[1]:
import numpy as np
from numba import jitclass, i8
@jitclass([("n", i8), ("tree", i8[:])])
class FenwickTree:
def __init__(self, n: i8) -> None:
"""Fenwick Treeを初期化します。
Parameters
----------
n : i8
要素数
"""
self.n = n
self.tree = np.zeros(n + 1, dtype=np.int64)
def _rsum(self, r):
s = 0
while r > 0:
s += self.tree[r]
r -= r & -r
return s
def sum(self, l: i8, r: i8) -> i8:
"""区間[l, r) の総和を返します。
Parameters
----------
l : i8
区間の左端
r : i8
区間の右端
Returns
-------
i8
区間[l, r) の総和
"""
return self._rsum(r) - self._rsum(l)
def add(self, i: i8, x: i8) -> None:
"""添字iにxを加算します。
Parameters
----------
i : i8
添字
x : i8
加数
"""
i += 1
while i <= self.n:
self.tree[i] += x
i += i & -i
使用例¶
[2]:
from numba import njit
def generate_input():
input_string = """5 5
1 2 3 4 5
1 0 5
1 2 4
0 3 10
1 0 5
1 0 3
"""
for line in input_string.splitlines():
yield line
input = generate_input().__next__
def read():
N, Q = map(int, input().strip().split())
A = np.fromstring(input().strip(), sep=" ", dtype=np.int64)
queries = np.empty((Q, 3), dtype=np.int64)
for i in range(Q):
queries[i, :] = np.fromstring(input().strip(), sep=" ", dtype=np.int64)
return N, Q, A, queries
@njit((i8, i8, i8[:], i8[:, :]), cache=True)
def solve(N, Q, A, queries):
ft = FenwickTree(N)
for i in range(N):
ft.add(i, A[i])
for i in range(Q):
query = queries[i, :]
if query[0] == 0:
p, x = query[1:]
ft.add(p, x)
elif query[0] == 1:
l, r = query[1:]
print(ft.sum(l, r))
solve(*read())
15
7
25
6